微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

解题步骤 1

使 $v = e^{x - y}$ 。用 $v$ 代入替换所有出现的 $e^{x - y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x v$

解题步骤 2

通过对 $e^{x - y}$ 进行微分求 $\frac{d v}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - y$ 。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

解题步骤 3

代入 $v$ 替换 $e^{x - y}$ 。

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

解题步骤 4

将导数代回微分方程。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

解题步骤 5

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ 中的每一项乘以 $- v$ 以消去分数。

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解题步骤 5.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ 中的每一项乘以 $- v$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $v$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

解题步骤 5.2.1.1.2

从 $- v$ 中分解出因数 $v$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

解题步骤 5.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

解题步骤 5.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- v$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

解题步骤 5.3.2

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

移动 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

解题步骤 5.3.2.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

解题步骤 6

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $v^{2}$ 的指数。

$v = v^{- 1}$

解题步骤 7

求解 $v$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 8

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 9

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 9.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 9.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3

化简表达式。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 9.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 10

在原方程 $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ 中将 $\frac{d v}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $v$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 11

求解代入的微分方程。

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解题步骤 11.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 11.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2

化简左边。

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解题步骤 11.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.2.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.1.2

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.5

通过指数相加将 $v^{- 1}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 11.1.2.1.5.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.5.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.6

化简 $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.2.1.8

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.3

化简右边。

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解题步骤 11.1.3.1

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

解题步骤 11.1.3.2

通过指数相加将 $v^{- 2}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 11.1.3.2.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.2.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.3

化简 $- x v^{0} \cdot - 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

解题步骤 11.1.3.4

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 11.1.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

解题步骤 11.1.3.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = x$

解题步骤 11.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 11.2.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 11.2.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 11.2.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 11.3

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 11.3.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

解题步骤 11.3.2

将 $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

解题步骤 11.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

解题步骤 11.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

解题步骤 11.6

对左边积分。

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

解题步骤 11.7

对右边积分。

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解题步骤 11.7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

解题步骤 11.7.2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

解题步骤 11.7.3

化简。

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

解题步骤 11.8

将 $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 11.8.1

将 $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 11.8.2

化简左边。

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解题步骤 11.8.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 11.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 11.8.3

化简右边。

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解题步骤 11.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.8.3.1.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.3.1.1.1

约去公因数。

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 11.8.3.1.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 11.8.3.1.2

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 11.8.3.1.2.1

约去公因数。

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 11.8.3.1.2.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 12

代入 $v^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 13

使用 $e^{x - y}$ 替换所有出现的 $v$ 。

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 14

求解 $y$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

解题步骤 14.2

展开左边。

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解题步骤 14.2.1

通过将 $- x + y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x + y})$ 。

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

解题步骤 14.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

解题步骤 14.2.3

将 $- x + y$ 乘以 $1$ 。

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

解题步骤 14.3

在等式两边都加上 $x$ 。

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$

微积分学 示例

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