微积分学示例

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

解题步骤 1

两边对 $t$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $t$ 的积分。

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

解题步骤 1.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

解题步骤 1.3

使 $u_{1} = 3 t$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.3.1

设 $u_{1} = 3 t$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 1.3.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 1.3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

解题步骤 1.4

组合 $\sin (u_{1})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

解题步骤 1.5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

解题步骤 1.6

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

解题步骤 1.7

使 $u_{2} = 3 t$ 。然后使 $d u_{2} = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.7.1

设 $u_{2} = 3 t$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.7.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 1.7.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 1.7.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 1.7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 1.8

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

解题步骤 1.9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 1.10

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

解题步骤 1.11

化简。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

解题步骤 1.12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 1.12.1

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

解题步骤 1.12.2

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

解题步骤 1.13

重新排序项。

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.2

由于 $- \frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{3}$ 移到积分外。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.3

使 $u_{3} = 3 t$ 。然后使 $d u_{3} = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 3.3.3.1

设 $u_{3} = 3 t$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d t}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 3.3.3.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.3.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3.3.3.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.4

组合 $\cos (u_{3})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.6.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.7

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\sin (u_{3})$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.8

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.9

使 $u_{4} = 3 t$ 。然后使 $d u_{4} = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ 。使用 $u_{4}$ 和 $d$ $u_{4}$ 进行重写。

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解题步骤 3.3.9.1

设 $u_{4} = 3 t$ 。求 $\frac{d u_{4}}{d t}$ 。

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解题步骤 3.3.9.1.1

对 $3 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

解题步骤 3.3.9.1.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.3.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 3.3.9.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3.3.9.2

使用 $u_{4}$ 和 $d u_{4}$ 重写该问题。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.10

组合 $\sin (u_{4})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.11

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{4}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.12

化简。

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解题步骤 3.3.12.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.12.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.13

$\sin (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的积分为 $- \cos (u_{4})$ 。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

解题步骤 3.3.14

应用常数不变法则。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

解题步骤 3.3.15

化简。

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

解题步骤 3.3.16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 3.3.16.1

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

解题步骤 3.3.16.2

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

解题步骤 3.3.17

重新排序项。

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$

微积分学 示例

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