微积分学示例

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $(x - y) d x$ 。

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

解题步骤 1.2

重写。

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - (x - y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- (x - y)$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [x - y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 2.4

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.7

乘。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.7.2

将 $\frac{d}{d y} [y]$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x + y$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 = 1$

解题步骤 4.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$1 = 1$ 是一个恒等式。

解题步骤 5

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

解题步骤 6

对 $M (x, y) = - (x - y)$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = - \int x - y d x$

解题步骤 6.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

解题步骤 6.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

解题步骤 6.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

解题步骤 6.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

解题步骤 6.6

化简。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

解题步骤 7

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

解题步骤 8

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

解题步骤 9

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 9.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

解题步骤 9.2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

解题步骤 9.2.2

根据加法法则， $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3

计算 $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ 。

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解题步骤 9.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ 。

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.2

根据加法法则， $\frac{x^{2}}{2} - y x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ 。

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.3

因为 $\frac{x^{2}}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.4

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y x$ 对 $y$ 的导数是 $- x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.7

从 $0$ 中减去 $x$ 。

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.3.9

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

解题步骤 9.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

解题步骤 9.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

解题步骤 10

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 10.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.1.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

解题步骤 10.1.2

合并 $x + y - x$ 中相反的项。

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解题步骤 10.1.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

解题步骤 10.1.2.2

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = y$

解题步骤 11

求 $y$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 11.1

对 $\frac{d g}{d y} = y$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

解题步骤 11.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int y d y$

解题步骤 11.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 12

在 $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13

化简每一项。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.3

乘以 $- (- y x)$ 。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 13.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$

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