微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$ , $y (3) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $e^{y - 1}$ 。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $e^{y - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ 中分解出因数 $e^{y - 1}$ 。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = x + 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = x + 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.3.1

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y - 1})$ 。

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

解题步骤 3.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

解题步骤 3.2.3

将 $y - 1$ 乘以 $1$ 。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

分解分数 $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ 成为两个分数。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

解题步骤 3.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.2.1

分解分数 $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ 成为两个分数。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

解题步骤 3.3.1.2.2

将负号移到分数的前面。

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $3$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ 中求 $K$ 的值。

$1 = \ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$ 。

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 1 - 1$

解题步骤 6.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$

解题步骤 6.3

要求解 $K$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})} = e^{0}$

解题步骤 6.4

使用对数的定义将 $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = - \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$

解题步骤 6.5

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.5.1

将方程重写为 $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$ 。

$- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2

化简 $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$ 。

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解题步骤 6.5.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 5 + K \cdot 3 + K}{3 + 2} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2.2

将 $3$ 移到 $K$ 的左侧。

$\frac{- 5 + 3 K + K}{3 + 2} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2.3

化简项。

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解题步骤 6.5.2.3.1

将 $3 K$ 和 $K$ 相加。

$\frac{- 5 + 4 K}{3 + 2} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2.3.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 5 + 4 K}{5} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2.3.3

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$\frac{- 1 (5) + 4 K}{5} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2.3.4

从 $4 K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (5) - (- 4 K)}{5} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2.3.5

从 $- 1 (5) - (- 4 K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (5 - 4 K)}{5} = e^{0}$

解题步骤 6.5.2.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 - 4 K}{5} = e^{0}$

解题步骤 6.5.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{5 - 4 K}{5} = 1$

解题步骤 6.5.4

等式两边同时乘以 $- 5$ 。

$- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5}) = - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.5.5

化简方程的两边。

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解题步骤 6.5.5.1

化简左边。

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解题步骤 6.5.5.1.1

化简 $- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5})$ 。

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解题步骤 6.5.5.1.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.5.1.1.1.1

将 $- \frac{5 - 4 K}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$- 5 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.5.5.1.1.1.2

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (- 1) \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.5.5.1.1.1.3

约去公因数。

$5 \cdot - 1 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.5.5.1.1.1.4

重写表达式。

$- - (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.5.5.1.1.2

乘。

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解题步骤 6.5.5.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.5.5.1.1.2.2

将 $5 - 4 K$ 乘以 $1$ 。

$5 - 4 K = - 5 \cdot 1$

解题步骤 6.5.5.2

化简右边。

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解题步骤 6.5.5.2.1

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$5 - 4 K = - 5$

解题步骤 6.5.6

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.5.6.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 4 K = - 5 - 5$

解题步骤 6.5.6.2

从 $- 5$ 中减去 $5$ 。

$- 4 K = - 10$

解题步骤 6.5.7

将 $- 4 K = - 10$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 6.5.7.1

将 $- 4 K = - 10$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

解题步骤 6.5.7.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.7.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

解题步骤 6.5.7.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{- 10}{- 4}$

解题步骤 6.5.7.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.7.3.1

约去 $- 10$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.7.3.1.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$K = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

解题步骤 6.5.7.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.7.3.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 6.5.7.3.1.2.2

约去公因数。

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 6.5.7.3.1.2.3

重写表达式。

$K = \frac{5}{2}$

解题步骤 7

代入 $\frac{5}{2}$ 替换 $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $\frac{5}{2}$ 替换 $K$ 。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5}{2} x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5 x}{2}}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.1.3

将 $\frac{5 x}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x + 2}$ 。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.2

要将 $- \frac{5}{x + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 2) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $\frac{5}{x + 2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.3.2

重新排序 $(x + 2) \cdot 2$ 的因式。

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 2)} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \ln (\frac{- 5 \cdot 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.5

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.6

从 $- 10 + 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 7.2.6.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.6.2

从 $5 \cdot - 2 + 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

解题步骤 7.2.7

要将 $\frac{K}{x + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

解题步骤 7.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 (x + 2)$ 的形式。

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解题步骤 7.2.8.1

将 $\frac{K}{x + 2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2}) + 1$

解题步骤 7.2.8.2

重新排序 $(x + 2) \cdot 2$ 的因式。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

解题步骤 7.2.9

在公分母上合并分子。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x) + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

解题步骤 7.2.10

化简分子。

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解题步骤 7.2.10.1

运用分配律。

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

解题步骤 7.2.10.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

解题步骤 7.2.10.3

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + 2 K}{2 (x + 2)}) + 1$

微积分学 示例

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