微积分学示例

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $x^{4}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.1

从 $6 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.1.2.4

用 $6 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.7.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 2.3.8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 (- x^{- 1} + C_{4})$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

化简。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) + 5 (- x^{- 1}) + C_{5}$

解题步骤 2.3.9.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) - 5 x^{- 1} + C_{5}$

解题步骤 2.3.10

重新排序项。

$y + C_{1} = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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