微积分学示例

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

解题步骤 1

检查方程的左侧是否是 $\sin (x) y$ 项的导数的结果。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

解题步骤 1.4

代入 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

解题步骤 2

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

解题步骤 3

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 4

对左边积分。

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 5

对右边积分。

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解题步骤 5.1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

解题步骤 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ 是一个特殊积分。该积分是菲涅尔积分函数。

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

解题步骤 5.3

化简。

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

解题步骤 6

将 $\sin (x) y = 5 S x + C$ 中的每一项除以 $\sin (x)$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $\sin (x) y = 5 S x + C$ 中的每一项都除以 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

分离分数。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

解题步骤 6.3.1.3

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$

微积分学 示例

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