微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3 y^{2}}$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3 y^{2}}$

解题步骤 2

分离变量。

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解题步骤 2.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{3 y^{2}}$

解题步骤 2.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{y^{2} \cdot 3}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{y^{2} \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3}$

解题步骤 2.3

重写该方程。

$y^{2} d y = \frac{8 x}{3} d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x}{3} d x$

解题步骤 3.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x}{3} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

由于 $\frac{8}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{8}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x d x$

解题步骤 3.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 3.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $\frac{8}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{6} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3

约去 $8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4}{3} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{4}{3} x^{2} + K$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

化简 $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{3} = 3 (\frac{4 x^{2}}{3} + K)$

解题步骤 4.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{3} = 3 \frac{4 x^{2}}{3} + 3 K$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

约去公因数。

$y^{3} = 3 \frac{4 x^{2}}{3} + 3 K$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

重写表达式。

$y^{3} = 4 x^{2} + 3 K$

解题步骤 4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} + 3 K}$

解题步骤 5

化简积分常数。

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} + K}$

微积分学 示例

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