微积分学示例

$\frac{d x}{d t} = 4 - 0.2 x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{4 - 0.2 x}$ 。

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

解题步骤 1.2

约去 $4 - 0.2 x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{4 - 0.2 x} d x = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{4 - 0.2 x} d x = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 4 - 0.2 x$ 。然后使 $d u = - 0.2 d x$ ，以便 $\frac{1}{- 0.2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 4 - 0.2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 0.2}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 0.2$ 除以 $1$ 。

$- 0.2$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 5}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{5}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{5}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.4

由于 $5$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$- (5 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

解题步骤 2.2.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

解题步骤 2.2.7

化简。

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.8

使用 $4 - 0.2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\ln (| 4 - 0.2 x |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} + \frac{C}{- 5}$

解题步骤 3.1.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$

解题步骤 3.2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 4 - 0.2 x |)} = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} = | 4 - 0.2 x |$

解题步骤 3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$ 。

$| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$4 - 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$

解题步骤 3.4.4

将 $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ 中的每一项除以 $- 0.2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ 中的每一项都除以 $- 0.2$ 。

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $- 0.2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.1.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.2

化简 $\frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2}$ 。

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.3

乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.4

从 $0.2$ 中分解出因数 $0.2$ 。

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.5

分离分数。

$x = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.6

用 $1$ 除以 $0.2$ 。

$x = 5 \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.7

用 $\pm e^{\frac{- t - C}{5}}$ 除以 $1$ 。

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + \frac{- 4}{- 0.2}$

解题步骤 3.4.4.3.1.8

用 $- 4$ 除以 $- 0.2$ 。

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + 20$

解题步骤 4

化简积分常数。

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t + C}{5}}) + 20$

微积分学 示例

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