微积分学示例

$y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - (x + 6 y^{2})$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 6 y^{2})]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x + 6 y^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x + 6 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

解题步骤 2.5

因为 $6 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 y^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- 1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 = - 1$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$1 = - 1$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 1 - 1}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $y$ 替换 $M$ 。

$\frac{- 1 - 1}{y}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2}{y}$

解题步骤 4.3.3

代入 $y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{2}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| y |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$y \frac{1}{y^{2}} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $- (x + 6 y^{2})$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{1}{y} d x + (- x - (6 y^{2})) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} d x + (- x - 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $- x - 6 y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{1}{y} d x + \frac{- x - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.8

从 $- 6 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - (6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.9

从 $- (x) - (6 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.10

将 $- (x + 6 y^{2})$ 重写为 $- 1 (x + 6 y^{2})$ 。

$\frac{1}{y} d x + \frac{- 1 (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d x - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = \frac{1}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $x$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{x}{y} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

在等式两边都加上 $\frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} + \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

将 $0$ 和 $6 y^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5.2

用 $6$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} + 6 = 0$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$\frac{d g}{d y} = - 6$

解题步骤 13

求 $- 6$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = - 6$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 6 d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int - 6 d y$

解题步骤 13.3

应用常数不变法则。

$g (y) = - 6 y + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{x}{y} - 6 y + C$

微积分学 示例

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