微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $13$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 13 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 2 t^{2} - 1$ 。然后使 $d u = 4 t d t$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 2 t^{2} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $2 t^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $2 t^{2} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$4 t + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $4 t$ 和 $0$ 相加。

$4 t$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$s + C_{1} = 13 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$s + C_{1} = 13 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 13 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

解题步骤 2.3.5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $13$ 。

$s + C_{1} = \frac{13}{4} \int u^{3} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$s + C_{1} = \frac{13}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{13}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ 重写为 $\frac{13}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ 。

$s + C_{1} = \frac{13}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

将 $\frac{13}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$s + C_{1} = \frac{13}{4 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$s + C_{1} = \frac{13}{16} u^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $2 t^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$s + C_{1} = \frac{13}{16} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = \frac{13}{16} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$

微积分学 示例

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