微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 3 x^{2}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (2 x + 3 x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2 x + 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 2 x + 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.5.1

约去公因数。

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.5.2

重写表达式。

$y + C_{1} = x^{2} + 1 x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.6

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = x^{2} + x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$y + C_{1} = x^{3} + x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = x^{3} + x^{2} + K$

微积分学 示例

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