微积分学示例

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

解题步骤 1.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{1}$ 。

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (x) = 4 t + K$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $x$ 。

$x = \tan (4 t + K)$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将 $\frac{π}{4}$ 代入 $t$ ，将 $1$ 代入 $x$ ，在 $x = \tan (4 t + K)$ 中求 $K$ 的值。

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ 。

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $K$ 。

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

解题步骤 5.3

化简左边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

约去公因数。

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

解题步骤 5.3.1.2

重写表达式。

$π + K = \arctan (1)$

解题步骤 5.4

化简右边。

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解题步骤 5.4.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$π + K = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.5

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.5.1

从等式两边同时减去 $π$ 。

$K = \frac{π}{4} - π$

解题步骤 5.5.2

要将 $- π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.5.3

组合 $- π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.5.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.5.5

化简分子。

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解题步骤 5.5.5.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

解题步骤 5.5.5.2

从 $π$ 中减去 $4 π$ 。

$K = \frac{- 3 π}{4}$

解题步骤 5.5.6

将负号移到分数的前面。

$K = - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.6

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$π + K = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.7

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.7.1

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.7.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.7.1.2

合并分数。

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解题步骤 5.7.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 5.7.1.2.2

在公分母上合并分子。

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 5.7.1.3

化简分子。

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解题步骤 5.7.1.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 5.7.1.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$π + K = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 5.7.2

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.7.2.1

从等式两边同时减去 $π$ 。

$K = \frac{5 π}{4} - π$

解题步骤 5.7.2.2

要将 $- π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.7.2.3

组合 $- π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.7.2.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.7.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.7.2.5.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

解题步骤 5.7.2.5.2

从 $5 π$ 中减去 $4 π$ 。

$K = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.8

求 $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ 的周期。

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解题步骤 5.8.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.8.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.9

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.9.1

将 $π$ 加到 $- \frac{3 π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{3 π}{4} + π$

解题步骤 5.9.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.9.3

合并分数。

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解题步骤 5.9.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 5.9.4

化简分子。

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解题步骤 5.9.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

解题步骤 5.9.4.2

从 $4 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{π}{4}$

解题步骤 5.9.5

列出新角。

$K = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.10

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.11

合并答案。

$K = \frac{π}{4} + π n$

解题步骤 6

代入 $\frac{π}{4} + π n$ 替换 $x = \tan (4 t + K)$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 6.1

代入 $\frac{π}{4} + π n$ 替换 $K$ 。

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$

微积分学 示例

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