微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$

微积分学 示例