微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = a x + b$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int a x + b d x}$

解题步骤 1.2

对 $a x + b$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

解题步骤 1.2.2

由于 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $a$ 移到积分外。

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

解题步骤 1.2.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

解题步骤 1.2.4

应用常数不变法则。

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

解题步骤 1.2.5

化简。

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解题步骤 1.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

解题步骤 1.2.5.2

化简。

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $a$ 。

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{a}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

解题步骤 6.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

解题步骤 7

将 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ 中的每一项除以 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ 中的每一项都除以 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 。

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简分母。

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解题步骤 7.3.1.1

要将 $b x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2

组合 $b x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.4

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.4.1

从 $a x^{2} + b x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1.4.1.1

从 $a x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.4.1.2

从 $b x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.4.1.3

从 $x (a x) + x (b \cdot 2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

解题步骤 7.3.1.4.2

将 $2$ 移到 $b$ 的左侧。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$

微积分学 示例

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