微积分学示例

$(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 15 x y^{2} - 12 y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2} - 12 y]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $15 x y^{2} - 12 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $15 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $15 x y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $15 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [- 12 y]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 12$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 12 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 10 x^{2} y - 6 x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y - 6 x]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $10 x^{2} y - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $10 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $10 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 x y - 6$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $30 x y - 12$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $20 x y - 6$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $30 x y - 12$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{30 x y - 12 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $20 x y - 6$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $10 x^{2} y - 6 x$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $10 x^{2} y - 6 x$ 替换 $N$ 。

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $30 x y$ 中减去 $20 x y$ 。

$\frac{10 x y - 12 + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $- 12$ 和 $6$ 相加。

$\frac{10 x y - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2.6

从 $10 x y - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1

从 $10 x y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 x y) - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2.6.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 x y) + 2 (- 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.2.6.3

从 $2 (5 x y) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 x y - 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

解题步骤 4.3.3

从 $10 x^{2} y - 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $10 x^{2} y$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) - 6 x}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) + 2 x (- 3)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $2 x (5 x y) + 2 x (- 3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $5 x y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

约去公因数。

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

解题步骤 4.3.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 5.2

化简答案。

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解题步骤 5.2.1

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | x | + C$

解题步骤 6

在 $(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $15 x y^{2} - 12 y$ 乘以 $x$ 。

$(15 x y^{2} - 12 y) x d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(15 x y^{2} x - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

解题步骤 6.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

移动 $x$ 。

$(15 (x \cdot x) y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $10 x^{2} y - 6 x$ 乘以 $x$ 。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) x d y = 0$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y x - 6 x \cdot x) d y = 0$

解题步骤 6.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1

移动 $x$ 。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x \cdot x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x^{1} x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

解题步骤 6.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{1 + 2} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

解题步骤 6.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

解题步骤 6.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

移动 $x$ 。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 (x \cdot x)) d y = 0$

解题步骤 6.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x^{2}) d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - 12 y x d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - 12 y x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - 12 y x d x$

解题步骤 8.2

由于 $15 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $15 y^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - 12 y x d x$

解题步骤 8.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 12 y x d x$

解题步骤 8.4

由于 $- 12 y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 12 y$ 移到积分外。

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y \int x d x$

解题步骤 8.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 8.6

化简。

$f (x, y) = 15 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7

化简。

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解题步骤 8.7.1

组合 $15$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{15}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.2

约去 $15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.7.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.2.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.2.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{5}{1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.7.4

组合 $- 12$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y \frac{- 12 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.7.5

组合 $y$ 和 $\frac{- 12 x^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 12 x^{2})}{2} + C$

解题步骤 8.7.6

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.6.1

从 $y (- 12 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2} + C$

解题步骤 8.7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.7.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 (1)} + C$

解题步骤 8.7.6.2.2

约去公因数。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 8.7.6.2.3

重写表达式。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 6 x^{2})}{1} + C$

解题步骤 8.7.6.2.4

用 $y (- 6 x^{2})$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $5 x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 y^{2} x^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.3.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.4

计算 $\frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})]$ 。

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解题步骤 11.4.1

因为 $- 6 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y (- 6 x^{2})$ 对 $y$ 的导数是 $- 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.4.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 11.6

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{2} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

在等式两边都加上 $6 x^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2}$

解题步骤 12.1.2

从等式两边同时减去 $10 x^{3} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$

解题步骤 12.1.3

合并 $10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.1

将 $- 6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y + 0 - 10 x^{3} y$

解题步骤 12.1.3.2

将 $10 x^{3} y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 10 x^{3} y$

解题步骤 12.1.3.3

从 $10 x^{3} y$ 中减去 $10 x^{3} y$ 。

$\frac{d g}{d y} = 0$

解题步骤 13

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 0 d y$

解题步骤 13.3

$0$ 对 $y$ 的积分为 $0$ 。

$g (y) = 0 + C$

解题步骤 13.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (y) = C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

解题步骤 15

使用乘法的交换性质重写。

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 6 y x^{2} + C$

微积分学 示例

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