微积分学示例

$(x^{2} + 3) \frac{d y}{d x} - x = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} - x = 0$

解题步骤 1.1.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $x^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1.1.3.2

从 $3 \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3 = x$

解题步骤 1.1.3.3

从 $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ 中的每一项除以 $x^{2} + 3$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 3$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $x^{2} + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = x^{2} + 3$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = x^{2} + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x^{2} + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$

微积分学 示例

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