微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{4 - y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (2 x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}) (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.2

对 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.3

对 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6

将 ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ 重写为 $(2 + y) (2 - y)$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ 重写成 ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.4.6.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.5

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

解题步骤 1.2.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{2^{2} - y^{2}})$

解题步骤 1.2.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$

解题步骤 1.2.8

乘以 $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

组合 $x$ 和 $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.8.2

组合 $\frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)}$ 和 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}) \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.8.3

对 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.8.4

对 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1})}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.1

将 ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ 重写为 $(2 + y) (2 - y)$ 。

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解题步骤 1.2.9.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ 重写成 ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.9.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{1}}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.1.5

化简。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((2 + y) (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 + y) (2 - y)$ 。

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解题步骤 1.2.9.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 (2 - y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.9.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.3

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y \cdot y)}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.2.9.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y))}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.2

将 $- 2 y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 0 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.3.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2^{2} - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.9.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = y$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.10

约去 $2 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.10.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

解题步骤 1.2.10.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

解题步骤 1.2.11

约去 $2 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.11.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

解题步骤 1.2.11.2

用 $x \cdot 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

解题步骤 1.2.12

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arcsin (\frac{y}{2})$

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.3

将 $\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1}$ 重写为 $\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) = x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $y$ 。

$\frac{1}{2} y = \sin (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{2} = \sin (x^{2} + K)$

解题步骤 3.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1

约去公因数。

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

解题步骤 3.4.1.2

重写表达式。

$y = 2 \sin (x^{2} + K)$

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