微积分学示例

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $x$ 。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$x \frac{d x}{d t} = 9$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$x d x = 9 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int x d x = \int 9 d t$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (9 t + K)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

运用分配律。

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} = 18 t + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

解题步骤 3.4

从 $18 t + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

从 $18 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 (9 t) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

解题步骤 4

由于 $x$ 在初始条件 $(0, 9)$ 中为正，所以只考虑用 $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ 来求 $K$ 。将 $0$ 代入 $t$ ，将 $9$ 代入 $x$ 。

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将方程重写为 $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ 。

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

解题步骤 5.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

解题步骤 5.3

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ 重写成 ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

化简 ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

将 ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.3

将 $0$ 和 $K$ 相加。

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.4

化简。

$2 K = 9^{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 K = 81$

解题步骤 5.4

将 $2 K = 81$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $2 K = 81$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $K$ 除以 $1$ 。

$K = \frac{81}{2}$

解题步骤 6

代入 $\frac{81}{2}$ 替换 $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

代入 $\frac{81}{2}$ 替换 $K$ 。

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

解题步骤 6.2

从 $9 t + \frac{81}{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

从 $9 t$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

解题步骤 6.2.2

从 $\frac{81}{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

解题步骤 6.2.3

从 $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

解题步骤 6.4

要将 $t$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

解题步骤 6.5

组合 $t$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

解题步骤 6.6

在公分母上合并分子。

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

解题步骤 6.7

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

解题步骤 6.8

组合 $18$ 和 $\frac{2 t + 9}{2}$ 。

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

解题步骤 6.9

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.9.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.9.1.1

从 $18 (2 t + 9)$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

解题步骤 6.9.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

解题步骤 6.9.1.3

约去公因数。

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 6.9.1.4

重写表达式。

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

解题步骤 6.9.2

用 $9 (2 t + 9)$ 除以 $1$ 。

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

解题步骤 6.10

将 $9 (2 t + 9)$ 重写为 $3^{2} (2 t + 3^{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.10.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

解题步骤 6.10.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

解题步骤 6.11

从根式下提出各项。

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

解题步骤 6.12

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$

微积分学 示例

微积分学示例