微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ 乘以 $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.5

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.7.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.7.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.7.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{y \frac{1}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.8

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.9

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.9.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 1.9.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - 1}$

解题步骤 1.10

使用商的乘方法则 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{\frac{y}{x} - 1}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

分解分数 $\frac{1 + V^{2}}{V - 1}$ 成为两个分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} - V$

解题步骤 6.1.1.1.3

求公分母。

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解题步骤 6.1.1.1.3.1

将 $- V$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1}$

解题步骤 6.1.1.1.3.2

将 $\frac{- V}{1}$ 乘以 $\frac{V - 1}{V - 1}$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{V - 1}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.3.3

将 $\frac{- V}{1}$ 乘以 $\frac{V - 1}{V - 1}$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V (V - 1)}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.4

在公分母上合并分子。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V (V - 1)}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.5

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.5.1

运用分配律。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot V - V \cdot - 1}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.5.2

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.5.2.1

移动 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - (V \cdot V) - V \cdot - 1}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.5.2.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} - V \cdot - 1}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.5.3

乘以 $- V \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + 1 V}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.5.3.2

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + V}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.6

合并 $1 + V^{2} - V^{2} + V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.6.1

从 $V^{2}$ 中减去 $V^{2}$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 0 + V}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.6.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.1.7

分解分数 $\frac{1 + V}{V - 1}$ 成为两个分数。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V}{V - 1}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.4

将 $\frac{1 + V}{V - 1}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

解题步骤 6.1.1.2.3.5

将 $\frac{1 + V}{(V - 1) x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{x (V - 1)}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{V - 1}{1 + V}$ 。

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} (\frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $\frac{1 + V}{V - 1}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

解题步骤 6.1.4.2

约去 $V - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.2.1

从 $(V - 1) x$ 中分解出因数 $V - 1$ 。

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) (x)}$

解题步骤 6.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

解题步骤 6.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $1 + V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

解题步骤 6.1.4.3.2

重写表达式。

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{V - 1}{1 + V} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{V - 1}{1 + V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $1$ 和 $V$ 重新排序。

$\int \frac{V - 1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

用 $V - 1$ 除以 $V + 1$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$V$

$1$

$V$

$1$

解题步骤 6.2.2.2.2

将被除数中的最高阶项 $V$ 除以除数中的最高阶项 $V$ 。

					$1$
	$V$	+	$1$		$V$	-	$1$

解题步骤 6.2.2.2.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			+	$V$	+	$1$

解题步骤 6.2.2.2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $V + 1$ 中的所有符号

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$

解题步骤 6.2.2.2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$
					-	$2$

解题步骤 6.2.2.2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d V + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

应用常数不变法则。

$V + C_{1} + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

由于 $- 1$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V + C_{1} - \int \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

由于 $2$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$V + C_{1} - (2 \int \frac{1}{V + 1} d V) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.8

使 $u = V + 1$ 。然后使 $d u = d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.8.1

设 $u = V + 1$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.8.1.1

对 $V + 1$ 求导。

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

解题步骤 6.2.2.8.1.2

根据加法法则， $V + 1$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ 。

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

解题步骤 6.2.2.8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

解题步骤 6.2.2.8.1.4

因为 $1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $1$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.2.2.8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2.2.8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$V + C_{1} - 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.10

化简。

$V - 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.11

使用 $V + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$V - 2 \ln (| V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |)$ 。

$- \ln ({| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.2.1.2

去掉 ${| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

解题步骤 8.3

将 $- \frac{y}{x}$ 和 $C$ 重新排序。

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = C - \frac{y}{x}$

解题步骤 8.4

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 8.4.1

在等式两边都加上 $\frac{y}{x}$ 。

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) + \frac{y}{x} = C$

解题步骤 8.4.2

要将 $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.4.3

组合 $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.4.5

化简每一项。

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解题步骤 8.4.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.4.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- \ln ({(\frac{y + x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.4.5.3

对 $\frac{y + x}{x}$ 运用乘积法则。

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

解题步骤 8.4.6

要将 $- \ln (| x |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) \cdot \frac{x}{x} = C$

解题步骤 8.4.7

组合 $- \ln (| x |)$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} + \frac{- \ln (| x |) x}{x} = C$

解题步骤 8.4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

解题步骤 8.4.9

从 $- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

解题步骤 8.4.10

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

解题步骤 8.4.11

从 $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

解题步骤 8.4.12

从 $- \ln (| x |) x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)}{x} = C$

解题步骤 8.4.13

从 $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

解题步骤 8.4.14

将 $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ 重写为 $- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ 。

$\frac{- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

解题步骤 8.4.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x} = C$

解题步骤 8.4.16

将 $- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) - y + x \ln (| x |)}{x} = C$

微积分学 示例

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