微积分学示例

$3 x d y - 4 y d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $4 y d x$ 。

$3 x d y = 4 y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

解题步骤 3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

解题步骤 3.5

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

解题步骤 3.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

化简。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (| x |)$ 。

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

解题步骤 5.2.1.1.3

去掉 ${| x |}^{4}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ 。

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

解题步骤 5.5.2

两边同时乘以 $x^{4}$ 。

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

解题步骤 5.5.3

化简。

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解题步骤 5.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.3.1.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2

重写表达式。

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

解题步骤 5.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.2.1

将 $e^{C} x^{4}$ 中的因式重新排序。

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

解题步骤 5.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

解题步骤 5.5.4.2

化简 $\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1

将 $x^{4} e^{C}$ 重写为 $x^{3} (x e^{C})$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

因式分解出 $x^{3}$ 。

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

添加圆括号。

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

解题步骤 5.5.4.2.2

从根式下提出各项。

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

解题步骤 5.5.4.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$

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