微积分学示例

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x^{2} y^{4}$ 对 $y$ 的导数是 $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [2 x y]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

解题步骤 1.5

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2 y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3} y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 4.2

代入 $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

解题步骤 4.3

代入 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 替换 $M$ 。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $6 y^{3} x^{2}$ 中减去 $12 y^{3} x^{2}$ 。

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2.6

从 $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1

从 $- 6 y^{3} x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2.6.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.2.6.3

从 $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

解题步骤 4.3.3

从 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 中分解出因数 $x y$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $3 x^{2} y^{4}$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.4.2

重写表达式。

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $- 3 y^{3} x - 2$ 和 $3 x y^{3} + 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $- 3 y^{3} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.5.2

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.5.3

从 $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.5.4

将 $- (3 y^{3} x + 2)$ 重写为 $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ 。

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

解题步骤 4.3.5.5

重新排序项。

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

解题步骤 4.3.5.6

约去公因数。

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

解题步骤 4.3.5.7

重写表达式。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

解题步骤 4.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2}{y}$

解题步骤 4.3.7

代入 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 替换 $M$ 。

$- \frac{2}{y}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.3

去掉 ${| y |}^{- 2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

解题步骤 5.6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

解题步骤 6

在 $(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ 中分解出因数 $x y$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $3 x^{2} y^{4}$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.4

约去 $y$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $x y (3 x y^{3} + 2)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.4.2.2

约去公因数。

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7

从 $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.7.1

从 $2 x^{3} y^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7.3

从 $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

解题步骤 8

对 $M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $\frac{1}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{y}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

解题步骤 8.2

展开 $x (3 x y^{3} + 2)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

解题步骤 8.2.2

移动括号。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

解题步骤 8.2.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

解题步骤 8.2.4

将 $x$ 和 $3$ 重新排序。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

解题步骤 8.2.5

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

解题步骤 8.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

解题步骤 8.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

解题步骤 8.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

解题步骤 8.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

解题步骤 8.3

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

解题步骤 8.4

由于 $3 y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3 y^{3}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

解题步骤 8.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

解题步骤 8.6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

解题步骤 8.7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

解题步骤 8.8

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

解题步骤 9

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ 。

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解题步骤 11.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = \frac{1}{y}$ 且 $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $y^{3} x^{3} + x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.3

因为 $x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{3} x^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.5

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.6

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.8

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.9

将 $3 x^{3} y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.10

组合 $3$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.11

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{3}{y}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.12

组合 $\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.13

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.14

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.14.1

从 $3 x^{3} y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.14.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.14.2.2

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.14.2.3

约去公因数。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.14.2.4

重写表达式。

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.3.14.2.5

用 $3 x^{3} y$ 除以 $1$ 。

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.2

运用分配律。

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3

合并项。

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解题步骤 11.5.3.1

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.2

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ 。

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.3

约去 $y^{3}$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.3.1

从 $x^{3} y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.5.3.3.2.1

乘以 $1$ 。

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.3.2.2

约去公因数。

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.3.2.3

重写表达式。

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.3.2.4

用 $x^{3} y$ 除以 $1$ 。

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.3.5

从 $3 x^{3} y$ 中减去 $x^{3} y$ 。

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 11.5.4

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3

化简每一项。

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解题步骤 12.1.3.1

运用分配律。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 12.1.3.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 12.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.3

乘以 $- x^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 12.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.4

化简每一项。

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解题步骤 12.1.3.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.4

合并 $- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.4.2

将 $- 2 x^{3} y^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.5

约去 $y^{3}$ 和 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.5.1

从 $- 2 x^{3} y^{3}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

解题步骤 12.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 12.1.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

解题步骤 12.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

解题步骤 12.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

解题步骤 12.1.5.2.4

用 $- 2 x^{3} y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

解题步骤 12.1.6

合并 $\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.6.1

从 $2 x^{3} y$ 中减去 $2 x^{3} y$ 。

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

解题步骤 12.1.6.2

将 $\frac{d g}{d y}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 0$

解题步骤 13

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d y} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 0 d y$

解题步骤 13.3

$0$ 对 $y$ 的积分为 $0$ 。

$g (y) = 0 + C$

解题步骤 13.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (y) = C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $y^{3} x^{3} + x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

解题步骤 15.2

从 $y^{3} x^{3} + x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1

从 $y^{3} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

解题步骤 15.2.2

乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

解题步骤 15.2.3

从 $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$

微积分学 示例

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