微积分学示例

$x d x + \sec (x) \sin (y) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x d x$ 。

$\sec (x) \sin (y) d y = - x d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sec (x)}$ 。

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $\sec (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $\sec (x) \sin (y)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) (\sin (y))) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\sin (y) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\sec (x)} x d x$

解题步骤 3.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} x d x$

解题步骤 3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\sin (y) d y = - (1 \cos (x)) x d x$

解题步骤 3.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (y) d y = - \cos (x) x d x$

解题步骤 3.6

将 $- \cos (x) x$ 中的因式重新排序。

$\sin (y) d y = - x \cos (x) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \sin (y) d y = \int - x \cos (x) d x$

解题步骤 4.2

$\sin (y)$ 对 $y$ 的积分为 $- \cos (y)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = \int - x \cos (x) d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \cos (y) + C_{1} = - \int x \cos (x) d x$

解题步骤 4.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

解题步骤 4.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$

解题步骤 4.3.4

将 $- (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$ 重写为 $- (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$ 。

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \cos (y) = - (x \sin (x) + \cos (x)) + K$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$ 。

$- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$- x \sin (x) - \cos (x) + K = - \cos (y)$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $\cos (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

在等式两边都加上 $x \sin (x)$ 。

$- \cos (x) + K = - \cos (y) + x \sin (x)$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$

解题步骤 5.4

将 $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.4.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos (x) = \frac{\cos (y)}{1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.2

用 $\cos (y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \cos (y) + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.3

移动 $\frac{x \sin (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\cos (x) = \cos (y) - 1 \cdot (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.4

将 $- 1 \cdot (x \sin (x))$ 重写为 $- (x \sin (x))$ 。

$\cos (x) = \cos (y) - (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

解题步骤 5.4.3.1.5

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + \frac{K}{1}$

解题步骤 5.4.3.1.6

用 $K$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + K$

解题步骤 5.5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$x = \arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K)$

解题步骤 5.6

将方程重写为 $\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$ 。

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

解题步骤 5.7

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $\cos (y)$ 。

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

解题步骤 5.8

将所有不包含 $\cos (y)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.8.1

在等式两边都加上 $x \sin (x)$ 。

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

解题步骤 5.8.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

解题步骤 5.9

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

解题步骤 5.10

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

解题步骤 5.11

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $\cos (y)$ 。

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

解题步骤 5.12

将所有不包含 $\cos (y)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.12.1

在等式两边都加上 $x \sin (x)$ 。

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

解题步骤 5.12.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

解题步骤 5.13

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $y$ 。

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) + K)$

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