微积分学示例

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = e^{- y}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $1 - x e^{- y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

解题步骤 2.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- e^{- y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x e^{- y}$ 对 $x$ 的导数是 $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

解题步骤 2.4

从 $0$ 中减去 $e^{- y}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- e^{- y}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- e^{- y}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- e^{- y} = - e^{- y}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$- e^{- y} = - e^{- y}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = e^{- y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $e^{- y} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $e^{- y} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.2.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- y}$ 的左侧。

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.3.7

将 $- 1 e^{- y}$ 重写为 $- e^{- y}$ 。

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 8.5.2

将 $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

在等式两边都加上 $x e^{- y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

解题步骤 9.1.2

合并 $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- x e^{- y}$ 和 $x e^{- y}$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 1$

解题步骤 10

求 $1$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = 1$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int d y$

解题步骤 10.3

应用常数不变法则。

$g (y) = y + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

解题步骤 12

将 $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$

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