微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.5

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

化简。

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

解题步骤 2.3.8

重新排序项。

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ 中求 $C$ 的值。

$3 = - 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ 。

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

解题步骤 4.2

化简 $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

用 $7$ 除以 $1$ 。

$- 1 - 1 \cdot 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$- 1 - 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

解题步骤 4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- 1 - 7 + 5 \ln (1) + C = 3$

解题步骤 4.2.1.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- 1 - 7 + 5 \cdot 0 + C = 3$

解题步骤 4.2.1.5

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$- 1 - 7 + 0 + C = 3$

解题步骤 4.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $- 1 - 7$ 和 $0$ 相加。

$- 1 - 7 + C = 3$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 1$ 中减去 $7$ 。

$- 8 + C = 3$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$C = 3 + 8$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 和 $8$ 相加。

$C = 11$

解题步骤 5

代入 $11$ 替换 $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $11$ 替换 $C$ 。

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + 11$

解题步骤 5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (| x |)$ 。

$y = - x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{5}) + 11$

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