微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{2} y - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $y x^{2} + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

解题步骤 1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

解题步骤 1.1.3

因数。

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解题步骤 1.1.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

解题步骤 1.1.3.2

去掉多余的括号。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{y + 1}{y}$ 。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

运用分配律。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.1.2

运用分配律。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.1.3

运用分配律。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

解题步骤 1.4.3

将 $x^{2} - 1$ 乘以 $\frac{y}{y + 1}$ 。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

解题步骤 1.4.4

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

解题步骤 1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

解题步骤 1.4.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.5.1

从 $(x^{2} - 1) y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

解题步骤 1.4.5.2

约去公因数。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

解题步骤 1.4.5.3

重写表达式。

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.3.2

重写表达式。

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $3$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 中求 $C$ 的值。

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

解题步骤 4

求解 $C$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

从 $3^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2.1.1.3

重写表达式。

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.3

化简 $1 + \ln (| 1 |)$ 。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$6 + C = 1 + \ln (1)$

解题步骤 4.3.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$6 + C = 1 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$6 + C = 1$

解题步骤 4.4

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.4.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$C = 1 - 6$

解题步骤 4.4.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$C = - 5$

解题步骤 5

代入 $- 5$ 替换 $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 5$ 替换 $C$ 。

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$

微积分学 示例

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