微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

解题步骤 1.2

约去 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 4}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{y^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $3$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $t^{\frac{5}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ 。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$

微积分学 示例

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