微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $2 t y$ 。

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int 2 t d t}$

解题步骤 2.2

对 $2 t$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int t d t}$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ 。

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2.2.2

重写表达式。

$e^{1 t^{2} + C}$

解题步骤 2.2.3.2.3

将 $t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{t^{2} + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{t^{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{t^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{t^{2}}$ 。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $e^{t^{2}}$ 乘以 $e^{- t^{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $e^{- t^{2}}$ 。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

解题步骤 3.4.3

将 $- t^{2}$ 和 $t^{2}$ 相加。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

解题步骤 3.5

化简 $4 e^{0}$ 。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

解题步骤 3.6

将 $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ 中的因式重新排序。

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

解题步骤 8

将 $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ 中的每一项除以 $e^{t^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ 中的每一项都除以 $e^{t^{2}}$ 。

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{t^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

解题步骤 9

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ 中求 $C$ 的值。

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

解题步骤 10

求解 $C$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ 。

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

解题步骤 10.2

化简 $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ 。

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解题步骤 10.2.1

合并分数。

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解题步骤 10.2.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

解题步骤 10.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.1.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

解题步骤 10.2.1.2.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

解题步骤 10.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

解题步骤 10.2.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{C}{1} = 3$

解题步骤 10.2.3

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = 3$

解题步骤 11

代入 $3$ 替换 $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 11.1

代入 $3$ 替换 $C$ 。

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$

微积分学 示例

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