微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = - x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = - x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int - x d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

重写表达式。

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(4, 3)$ 中为正，所以只考虑用 $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ 来求 $K$ 。将 $4$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ 。

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ 。

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- 4^{2} + K}$ 重写成 ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.3

化简。

$- 16 + K = 3^{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 16 + K = 9$

解题步骤 6.4

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$K = 9 + 16$

解题步骤 6.4.2

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$K = 25$

解题步骤 7

代入 $25$ 替换 $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $25$ 替换 $K$ 。

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

解题步骤 7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

解题步骤 7.3

将 $- x^{2}$ 和 $5^{2}$ 重新排序。

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

解题步骤 7.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

微积分学 示例

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