微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $28$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $28$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2

展开 ${(7 t^{2} - 5)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

使用二项式定理。

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2})}^{3} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2.2

将幂重写为乘积形式。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} {(7 t^{2})}^{2} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2.3

将幂重写为乘积形式。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2.4

将幂重写为乘积形式。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2.5

将幂重写为乘积形式。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) + {(- 5)}^{3} d t$

解题步骤 2.3.2.6

将幂重写为乘积形式。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 {(- 5)}^{2} d t$

解题步骤 2.3.2.7

将幂重写为乘积形式。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.8

移动 $t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.9

移动括号。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.10

移动括号。

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.11

移动 $t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.12

移动 $t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.13

移动括号。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.14

移动括号。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.15

移动 $t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} \cdot - 5 t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.16

移动 $t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.17

移动 $t^{2}$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

解题步骤 2.3.2.18

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 49 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.19

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2 + 2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.21

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.23

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.24

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 21 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.25

将 $21$ 乘以 $7$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 147 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.26

将 $147$ 乘以 $- 5$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.28

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.29

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 21 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.30

将 $21$ 乘以 $- 5$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} - 105 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.31

将 $- 105$ 乘以 $- 5$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.32

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} + 25 \cdot - 5 d t$

解题步骤 2.3.2.33

将 $25$ 乘以 $- 5$ 。

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

解题步骤 2.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$s + C_{1} = 28 (\int 343 t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

解题步骤 2.3.4

由于 $343$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $343$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 28 (343 \int t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $t^{6}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{7} t^{7}$ 。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

解题步骤 2.3.6

由于 $- 735$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 735$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 \int t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

解题步骤 2.3.7

根据幂法则， $t^{4}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{5} t^{5}$ 。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

解题步骤 2.3.8

由于 $525$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $525$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 \int t^{2} d t + \int - 125 d t)$

解题步骤 2.3.9

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 125 d t)$

解题步骤 2.3.10

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

解题步骤 2.3.11

化简。

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解题步骤 2.3.11.1

化简。

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解题步骤 2.3.11.1.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $t^{7}$ 。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

解题步骤 2.3.11.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $t^{5}$ 。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

解题步骤 2.3.11.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

解题步骤 2.3.11.2

化简。

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $t$ ，将 $5$ 代入 $s$ ，在 $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = 28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$ 。

$28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$28 (49 \cdot 1 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.2

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$28 (49 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$28 (49 - 147 \cdot 1 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 147$ 乘以 $1$ 。

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1 - 125 \cdot 1) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.6

将 $175$ 乘以 $1$ 。

$28 (49 - 147 + 175 - 125 \cdot 1) + K = 5$

解题步骤 4.2.1.7

将 $- 125$ 乘以 $1$ 。

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

解题步骤 4.2.2

从 $49$ 中减去 $147$ 。

$28 (- 98 + 175 - 125) + K = 5$

解题步骤 4.2.3

将 $- 98$ 和 $175$ 相加。

$28 (77 - 125) + K = 5$

解题步骤 4.2.4

从 $77$ 中减去 $125$ 。

$28 \cdot - 48 + K = 5$

解题步骤 4.2.5

将 $28$ 乘以 $- 48$ 。

$- 1344 + K = 5$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $1344$ 。

$K = 5 + 1344$

解题步骤 4.3.2

将 $5$ 和 $1344$ 相加。

$K = 1349$

解题步骤 5

代入 $1349$ 替换 $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $1349$ 替换 $K$ 。

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + 1349$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$s = 28 (49 t^{7}) + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $49$ 乘以 $28$ 。

$s = 1372 t^{7} + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 147$ 乘以 $28$ 。

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

解题步骤 5.2.2.3

将 $175$ 乘以 $28$ 。

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} + 28 (- 125 t) + 1349$

解题步骤 5.2.2.4

将 $- 125$ 乘以 $28$ 。

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$

微积分学 示例

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