微积分学示例

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

解题步骤 1.1.2

将 $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ 中的每一项除以 $x y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ 中的每一项都除以 $x y$ 。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{3}{x}$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

解题步骤 1.4.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

解题步骤 1.4.3.2

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

解题步骤 1.4.3.3

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

解题步骤 1.4.3.4

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 6 \ln (| x |)$ 。

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

解题步骤 3.5

去掉 ${| x |}^{6}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(2, 1)$ 中为正，所以只考虑用 $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ 来求 $C$ 。将 $2$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ 。

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ 。

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

解题步骤 6.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ 重写成 ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简 ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.3.2.1.3

化简。

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

一的任意次幂都为一。

$- \ln (64) + C = 1$

解题步骤 6.4

在等式两边都加上 $\ln (64)$ 。

$C = 1 + \ln (64)$

解题步骤 7

代入 $1 + \ln (64)$ 替换 $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $1 + \ln (64)$ 替换 $C$ 。

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$

微积分学 示例

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