微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{\frac{5}{7}}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 8 x^{\frac{5}{7}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 8 x^{\frac{5}{7}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 8 x^{\frac{5}{7}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 8 \int x^{\frac{5}{7}} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{\frac{5}{7}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{7}{12} x^{\frac{12}{7}}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{7}{12} x^{\frac{12}{7}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $8 (\frac{7}{12} x^{\frac{12}{7}} + C_{2})$ 重写为 $8 (\frac{7}{12}) x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 8 (\frac{7}{12}) x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{7}{12}$ 。

$y + C_{1} = \frac{8 \cdot 7}{12} x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $8$ 乘以 $7$ 。

$y + C_{1} = \frac{56}{12} x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

约去 $56$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

从 $56$ 中分解出因数 $4$ 。

$y + C_{1} = \frac{4 (14)}{12} x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot 14}{4 \cdot 3} x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot 14}{4 \cdot 3} x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{14}{3} x^{\frac{12}{7}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{14}{3} x^{\frac{12}{7}} + K$

微积分学 示例

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