微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

合并。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

解题步骤 1.2.2

约去 ${(y - 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y - 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y - 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

将 $- u^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{u} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y - 1, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

去掉圆括号。

$y - 1, 1, 1$

解题步骤 3.1.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y - 1$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ 中的每一项乘以 $y - 1$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ 中的每一项乘以 $y - 1$ 。

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y - 1}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

运用分配律。

$- 1 = \ln (| x |) y + \ln (| x |) \cdot - 1 + C (y - 1)$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $\ln (| x |)$ 的左侧。

$- 1 = \ln (| x |) y - 1 \cdot \ln (| x |) + C (y - 1)$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $- 1 \ln (| x |)$ 重写为 $- \ln (| x |)$ 。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C (y - 1)$

解题步骤 3.2.3.1.4

运用分配律。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y + C \cdot - 1$

解题步骤 3.2.3.1.5

将 $- 1$ 移到 $C$ 的左侧。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - 1 \cdot C$

解题步骤 3.2.3.1.6

将 $- 1 C$ 重写为 $- C$ 。

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$ 中的因式重新排序。

$- 1 = y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$ 。

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$

解题步骤 3.3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) = - C y + C - 1$

解题步骤 3.3.3

在等式两边都加上 $C y$ 。

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y = C - 1$

解题步骤 3.3.4

在等式两边都加上 $\ln (| x |)$ 。

$y \ln (| x |) + C y = C - 1 + \ln (| x |)$

解题步骤 3.3.5

从 $y \ln (| x |) + C y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $C y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \ln (| x |) + y C = C - 1 + \ln (| x |)$

解题步骤 3.3.5.2

从 $y \ln (| x |) + y C$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$

解题步骤 3.3.6

将 $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ 中的每一项除以 $\ln (| x |) + C$ 并化简。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ 中的每一项都除以 $\ln (| x |) + C$ 。

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 3.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.6.2.1

约去 $\ln (| x |) + C$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 3.3.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 3.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} - \frac{1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 3.3.6.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{C - 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 3.3.6.3.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{C - 1 + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

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