微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x))$

解题步骤 1

两边对 $x$ 积分。

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解题步骤 1.1

一阶导数等于二阶导数对 $x$ 的积分。

$\frac{d y}{d x} = \int (4.5) (\sec^{2} (x)) (\tan (x)) d x$

解题步骤 1.2

将 $4.5$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} = \int 4.5 \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.3

由于 $4.5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4.5$ 移到积分外。

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.4

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.4.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 1.4.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{d y}{d x} = 4.5 \int u d u$

解题步骤 1.5

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $4.5 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ 重写为 $4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4.5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{1}$

解题步骤 1.6.2

组合 $4.5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} u^{2} + C_{1}$

解题步骤 1.7

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4.5}{2} \sec^{2} (x) + C_{1}$

解题步骤 1.8

用 $4.5$ 除以 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}$

解题步骤 2

重写该方程。

$d y = (2.25 \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

解题步骤 3

对两边积分。

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解题步骤 3.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

解题步骤 3.2

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

解题步骤 3.3

对右边积分。

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解题步骤 3.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{2} = \int 2.25 \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.2

由于 $2.25$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2.25$ 移到积分外。

$y + C_{2} = 2.25 \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

解题步骤 3.3.4

应用常数不变法则。

$y + C_{2} = 2.25 (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

解题步骤 3.3.5

化简。

$y + C_{2} = 2.25 \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

解题步骤 3.3.6

重新排序项。

$y + C_{2} = C_{1} x + 2.25 \tan (x) + C_{5}$

解题步骤 3.4

将右边的积分常数分组为 $D$ 。

$y = C x + 2.25 \tan (x) + D$

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