微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 5 x + 1$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 5 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $5 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.3.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $3$ 代入 $x$ ，将 $- 2$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ 。

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

解题步骤 4.2.2

将 $15$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

解题步骤 4.2.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

解题步骤 4.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

解题步骤 4.2.6

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

解题步骤 4.2.7

乘以 $\frac{2}{15} \cdot 64$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

组合 $\frac{2}{15}$ 和 $64$ 。

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

解题步骤 4.2.7.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{128}{15} + K = - 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{128}{15}$ 。

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

解题步骤 4.3.2

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

解题步骤 4.3.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- 2$ 乘以 $15$ 。

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $- 30$ 中减去 $128$ 。

$K = \frac{- 158}{15}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$K = - \frac{158}{15}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{158}{15}$ 替换 $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{158}{15}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{2}{15}$ 和 ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

解题步骤 5.4

从 $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

解题步骤 5.4.2

从 $- 158$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

解题步骤 5.4.3

从 $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$

微积分学 示例

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