微积分学示例

$(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

解题步骤 1.4

从 $0$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = - x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $- y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 2 y = - y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 2 y = - y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $- y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $- x y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $- x y$ 替换 $N$ 。

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $- 2 y - - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $- - y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.1.3

从 $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

解题步骤 4.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{- 1}{- x}$

解题步骤 4.3.4

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 5.2

化简答案。

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解题步骤 5.2.1

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | x | + C$

解题步骤 6

在 $(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} - y^{2}$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{2} x^{1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{2 + 1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $- x y$ 乘以 $x$ 。

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

解题步骤 6.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

移动 $x$ 。

$(x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

解题步骤 6.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = - x^{2} y$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $- x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- x^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.3.3

化简。

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解题步骤 8.3.3.1

重新排序项。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

解题步骤 8.3.3.2

去掉圆括号。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

解题步骤 8.3.3.3

去掉圆括号。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.3

因为 $- \frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.7

组合 $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.8

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.8.1

从 $- 2 y^{2} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.8.2.3

重写表达式。

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.3.8.2.4

用 $- y^{2} x$ 除以 $1$ 。

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = x^{3} - y^{2} x$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

在等式两边都加上 $y^{2} x$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

解题步骤 12.1.2

合并 $x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

将 $- y^{2} x$ 和 $y^{2} x$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

解题步骤 13

求 $x^{3}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x^{3} d x$

解题步骤 13.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 15.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$

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