微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 64)$ , $y (\ln (4)) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 64) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 64) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 64) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 \int e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 64) d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{2} = e^{3 t} - 64$ 。然后使 $d u_{2} = 3 e^{3 t} d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = e^{3 t} d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{2} = e^{3 t} - 64$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $e^{3 t} - 64$ 求导。

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 64]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $e^{3 t} - 64$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 64]$ 。

$\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 3 t$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 t$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.3.1.3

使用 $3 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.3.5

将 $3$ 移到 $e^{3 t}$ 的左侧。

$3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 64]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $- 64$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 64$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 e^{3 t} + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $3 e^{3 t}$ 和 $0$ 相加。

$3 e^{3 t}$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

组合 $\sin (u_{2})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.3.6

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $e^{3 t} - 64$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = - \cos (e^{3 t} - 64) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \cos (e^{3 t} - 64) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $\ln (4)$ 代入 $t$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = - \cos (e^{3 t} - 64) + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = - \cos (e^{3 \ln (4)} - 64) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \cos (e^{3 \ln (4)} - 64) + K = 0$ 。

$- \cos (e^{3 \ln (4)} - 64) + K = 0$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (4)$ 。

$- \cos (e^{\ln (4^{3})} - 64) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.1.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$- \cos (4^{3} - 64) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \cos (64 - 64) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.2

从 $64$ 中减去 $64$ 。

$- \cos (0) + K = 0$

解题步骤 4.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + K = 0$

解题步骤 4.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$K = 1$

解题步骤 5

代入 $1$ 替换 $y = - \cos (e^{3 t} - 64) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $1$ 替换 $K$ 。

$y = - \cos (e^{3 t} - 64) + 1$

微积分学 示例

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