微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - y (6 x - 1) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} - y (6 x) - y \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x - y \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.1.1.3

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + 1 y = 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + y = 0$

解题步骤 1.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d y}{d x} - 6 y x + y = 0$

解题步骤 1.1.2

将所有不包含 $\frac{d y}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1.2.1

在等式两边都加上 $6 y x$ 。

$\frac{d y}{d x} + y = 6 y x$

解题步骤 1.1.2.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 y x - y$

解题步骤 1.2

从 $6 y x - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $6 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) - y$

解题步骤 1.2.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) + y \cdot - 1$

解题步骤 1.2.3

从 $y (6 x) + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (6 x - 1)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

解题步骤 1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 x - 1$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = (6 x - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x - 1 d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{2} - x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{2} - x + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3 x^{2} - x + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$ 。

$| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{3 x^{2} - x + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{3 x^{2} - x + C}$ 重写为 $e^{3 x^{2} - x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{3 x^{2} - x} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{3 x^{2} - x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2} - x}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{3 x^{2} - x}$

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