微积分学示例

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ 。

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

解题步骤 1.2

重写。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

解题步骤 2.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y \ln (\frac{x}{y})$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.5.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.5.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.6

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.7

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{y}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.9

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.10

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.13

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.14

化简项。

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解题步骤 2.14.1

组合 $x$ 和 $\frac{y^{2}}{x}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.14.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.14.2.1

约去公因数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.14.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.14.3

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.16

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.16.1

移动 $y^{- 2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.16.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.16.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.17

化简 $y^{0} \cdot - 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

解题步骤 2.19

将 $\ln (\frac{x}{y})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

解题步骤 2.20

化简。

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解题步骤 2.20.1

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 2.20.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 5.2

代入 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

解题步骤 5.3

代入 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 替换 $M$ 。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 5.3.2

化简分子。

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解题步骤 5.3.2.1

运用分配律。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 5.3.2.3

乘以 $- - \ln (\frac{x}{y})$ 。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 5.3.2.3.2

将 $\ln (\frac{x}{y})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 5.3.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 5.3.2.5

将 $0$ 和 $\ln (\frac{x}{y})$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 5.3.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

解题步骤 5.3.4

约去 $\ln (\frac{x}{y})$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

解题步骤 5.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{- y}$

解题步骤 5.3.5

代入 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

解题步骤 5.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 。

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解题步骤 6.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 6.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 6.3

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

解题步骤 6.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

解题步骤 6.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

解题步骤 7

在 $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

解题步骤 7.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ 重写为 $- \ln (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $x$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

解题步骤 7.6

组合 $x$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = \frac{x}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

由于 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $x$ 移到积分外。

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 9.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

解题步骤 9.3

化简。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 12

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

重写。

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

解题步骤 13.1.2

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 13.1.2.1

从等式两边同时减去 $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ 。

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

解题步骤 13.1.2.2

重写。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

解题步骤 13.1.3

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ 的值。

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解题步骤 13.1.3.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

解题步骤 13.1.3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

解题步骤 13.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y \ln (\frac{x}{y})$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

解题步骤 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 13.1.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.5.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.5.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.6

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.7

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.8

组合 $\frac{y}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.9

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.10

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.13

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.14

化简项。

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解题步骤 13.1.3.14.1

组合 $x$ 和 $\frac{y^{2}}{x}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.14.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.3.14.2.1

约去公因数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.14.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.14.3

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.16

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{- 2}$ 。

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解题步骤 13.1.3.16.1

移动 $y^{- 2}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.16.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.16.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.17

化简 $y^{0} \cdot - 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 13.1.3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

解题步骤 13.1.3.19

将 $\ln (\frac{x}{y})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

解题步骤 13.1.3.20

化简。

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解题步骤 13.1.3.20.1

运用分配律。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.3.20.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.4

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x$ 的值。

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解题步骤 13.1.4.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 13.1.5

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 13.1.5.1

将 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

解题步骤 13.1.5.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 13.1.6

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

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解题步骤 13.1.6.1

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

解题步骤 13.1.6.2

代入 $1 - \ln (\frac{x}{y})$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

解题步骤 13.1.6.3

代入 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 13.1.6.3.1

代入 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 替换 $M$ 。

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 13.1.6.3.2

化简分子。

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解题步骤 13.1.6.3.2.1

运用分配律。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 13.1.6.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 13.1.6.3.2.3

乘以 $- - \ln (\frac{x}{y})$ 。

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解题步骤 13.1.6.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 13.1.6.3.2.3.2

将 $\ln (\frac{x}{y})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 13.1.6.3.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 13.1.6.3.2.5

将 $0$ 和 $\ln (\frac{x}{y})$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

解题步骤 13.1.6.3.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

解题步骤 13.1.6.3.4

约去 $\ln (\frac{x}{y})$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.6.3.4.1

约去公因数。

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

解题步骤 13.1.6.3.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{- y}$

解题步骤 13.1.6.3.5

代入 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 替换 $M$ 。

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解题步骤 13.1.6.3.5.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

解题步骤 13.1.6.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y}$

解题步骤 13.1.6.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 13.1.7

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ 。

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解题步骤 13.1.7.1

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

解题步骤 13.1.7.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

解题步骤 13.1.7.3

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

解题步骤 13.1.7.4

化简每一项。

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解题步骤 13.1.7.4.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| y |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

解题步骤 13.1.7.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

解题步骤 13.1.7.4.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

解题步骤 13.1.8

在 $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 13.1.8.1

将 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

解题步骤 13.1.8.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.8.2.1

从 $- y (\ln (x) - \ln (y))$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

解题步骤 13.1.8.2.2

约去公因数。

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

解题步骤 13.1.8.2.3

重写表达式。

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

解题步骤 13.1.8.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

解题步骤 13.1.8.4

将 $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ 重写为 $- \ln (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

解题步骤 13.1.8.5

将 $x$ 乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

解题步骤 13.1.8.6

组合 $x$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

解题步骤 13.1.9

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

解题步骤 13.1.10

对 $N (x, y) = \frac{x}{y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 13.1.10.1

由于 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $x$ 移到积分外。

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 13.1.10.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

解题步骤 13.1.10.3

化简。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

解题步骤 13.1.11

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

解题步骤 13.1.12

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13

化简左边。

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解题步骤 13.1.13.1

化简 $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ 。

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解题步骤 13.1.13.1.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.13.1.1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13.1.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $x \ln (| y |) + g x$ 。

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13.1.3

从 $x \ln (| y |) + g x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 13.1.13.1.3.1

从 $x \ln (| y |)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13.1.3.2

从 $g x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13.1.3.3

从 $x \ln (| y |) + x g$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.13.1.4.1

约去公因数。

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.13.1.4.2

用 $\ln (| y |) + g$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

解题步骤 13.1.14

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

解题步骤 13.1.15

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

解题步骤 13.1.16

组合 $| y |$ 和 $\frac{x}{y}$ 。

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

解题步骤 13.1.17

将 $\ln (\frac{| y | x}{y})$ 中的因式重新排序。

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

解题步骤 14

求 $- g$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ 的两边积分。

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ 。

$g (x) = \int - g d x$

解题步骤 14.3

应用常数不变法则。

$g (x) = - g x + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$

微积分学 示例

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