微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

解题步骤 1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

解题步骤 1.4.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

解题步骤 1.4.2.2

从 $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

解题步骤 1.4.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

解题步骤 1.4.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = (x + 3) (x - 3)$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = (x + 3) (x - 3)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $(x + 3) (x - 3)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 3$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.2.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.2.1.3.4.2

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 2.3.2.1.3.5

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.2.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.3.2.1.3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

解题步骤 2.3.2.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.3.2.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.3.8.2

将 $x - 3$ 乘以 $1$ 。

$x + 3 + x - 3$

解题步骤 2.3.2.1.3.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x + 3 - 3$

解题步骤 2.3.2.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.3.2.1.3.8.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.2.1.3.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $(x + 3) (x - 3)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

化简右边。

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解题步骤 3.1.1

组合 $\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

解题步骤 3.2

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

运用分配律。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

解题步骤 3.3.1.2

运用分配律。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3.2

合并 $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1

按照 $x \cdot - 3$ 和 $3 x$ 重新排列因数。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

解题步骤 3.3.3.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.4

要将 $\ln (| y |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.5

化简项。

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解题步骤 3.5.1

组合 $\ln (| y |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 $\ln (| y |)$ 的左侧。

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.7

化简左边。

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解题步骤 3.7.1

化简 $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| y |)$ 。

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.7.1.1.2

去掉 ${| y |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.7.1.1.3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

解题步骤 3.7.1.2

将 $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

解题步骤 3.7.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ 。

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.7.1.4

对 $y^{2} | x^{2} - 9 |$ 运用乘积法则。

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.7.1.5

将 ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.7.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.7.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1.5.2.1

约去公因数。

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.7.1.5.2.2

重写表达式。

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.7.1.6

化简。

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

解题步骤 3.8

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

解题步骤 3.9

使用对数的定义将 $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.10

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.10.1

将方程重写为 $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 。

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

解题步骤 3.10.2

将 $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 中的每一项除以 ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 3.10.2.1

将 $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ 中的每一项都除以 ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.10.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.10.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.10.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

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