微积分学示例

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

解题步骤 1

求

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 在

$M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将

$M$ 相对于

$y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则，

$y \cos (x) + 2 x e^{y}$ 对

$y$ 的导数是

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

解题步骤 1.3

计算

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

$\cos (x)$ 对于

$y$ 是常数，所以

$y \cos (x)$ 对

$y$ 的导数是

$\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

$n y^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

解题步骤 1.3.3

将

$\cos (x)$ 乘以

$1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

解题步骤 1.4

计算

$\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为

$2 x$ 对于

$y$ 是常数，所以

$2 x e^{y}$ 对

$y$ 的导数是

$2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

解题步骤 1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 等于

$a^{y} \ln (a)$ ，其中

$a$ =

$e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

解题步骤 1.5.2

将

$2 e^{y} x + \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

解题步骤 2

求

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 在

$N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ 的值。

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解题步骤 2.1

将

$N$ 相对于

$x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

解题步骤 2.2

根据加法法则，

$\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对

$x$ 的导数为

$\cos (x)$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4

计算

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为

$e^{y}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$x^{2} e^{y}$ 对

$x$ 的导数是

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4.3

将

$2$ 移到

$e^{y}$ 的左侧。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.5

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

将

$\cos (x) + 2 e^{y} x$ 和

$0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

解题步骤 2.6.3

将

$2 e^{y} x + \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

解题步骤 3

判断

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将

$2 x e^{y} + \cos (x)$ 代入

$\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将

$2 x e^{y} + \cos (x)$ 代入

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使

$f (x, y)$ 等于

$N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

解题步骤 5

对

$N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ 积分以求

$f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

解题步骤 5.2

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

解题步骤 5.3

由于

$x^{2}$ 对于

$y$ 是常数，所以将

$x^{2}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

解题步骤 5.4

$e^{y}$ 对

$y$ 的积分为

$e^{y}$ 。

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

解题步骤 5.5

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

解题步骤 6

由于

$g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用

$g (x)$ 替换

$C$ 。

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

解题步骤 7

设置

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8

求

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将

$f$ 相对于

$x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.2

根据加法法则，

$\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.3

计算

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为

$y$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\sin (x) y$ 对

$x$ 的导数是

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.3.2

$\sin (x)$ 对

$x$ 的导数为

$\cos (x)$ 。

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.4

计算

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ 。

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解题步骤 8.4.1

因为

$e^{y}$ 对于

$x$ 是常数，所以

$x^{2} e^{y}$ 对

$x$ 的导数是

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.4.3

将

$2$ 移到

$e^{y}$ 的左侧。

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.5

因为

$- y$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- y$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.6

使用函数法则进行微分，即

$g (x)$ 的导数为

$\frac{d g}{d x}$ 。

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.7

化简。

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解题步骤 8.7.1

将

$y \cos (x) + 2 e^{y} x$ 和

$0$ 相加。

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.7.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 8.7.3

将

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

解题步骤 9

求解

$\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含

$\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去

$y \cos (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

解题步骤 9.1.2

从等式两边同时减去

$2 x e^{y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

解题步骤 9.1.3

合并

$y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.3.1

从

$y \cos (x)$ 中减去

$y \cos (x)$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

解题步骤 9.1.3.2

将

$2 x e^{y}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

解题步骤 9.1.3.3

从

$2 x e^{y}$ 中减去

$2 x e^{y}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 10

求

$0$ 的不定积分，以求出

$g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对

$\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 10.2

计算

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 10.3

$0$ 对

$x$ 的积分为

$0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 10.4

将

$0$ 和

$C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 11

在

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ 中代入

$g (x)$ 。

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

解题步骤 12

将

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$

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