微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

解题步骤 3.4

将 $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

解题步骤 7.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

解题步骤 7.4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

解题步骤 7.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

解题步骤 7.6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

解题步骤 7.7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

解题步骤 7.8

化简。

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解题步骤 7.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

解题步骤 7.8.2

将 $\int e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

解题步骤 7.9

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.9.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.9.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 7.9.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

解题步骤 7.10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

解题步骤 7.11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

解题步骤 7.12

将 $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ 重写为 $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ 。

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

解题步骤 7.13

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 7.14

化简。

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解题步骤 7.14.1

运用分配律。

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 7.14.2

化简。

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解题步骤 7.14.2.1

乘以 $- (- x^{2} e^{- x})$ 。

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解题步骤 7.14.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 7.14.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 7.14.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

解题步骤 7.14.2.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

解题步骤 8

将 $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ 中的每一项除以 $e^{- x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.2

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去公因数。

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.3

约去 $e^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.3.1

约去公因数。

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 8.3.1.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

解题步骤 9

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ 中求 $C$ 的值。

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

解题步骤 10

求解 $C$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ 。

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

解题步骤 10.2

化简 $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ 。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

解题步骤 10.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

解题步骤 10.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

解题步骤 10.2.1.4

用 $C$ 除以 $1$ 。

$0 + 0 + 2 + C = 0$

解题步骤 10.2.2

合并 $0 + 0 + 2 + C$ 中相反的项。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2 + C = 0$

解题步骤 10.2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2 + C = 0$

解题步骤 10.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$C = - 2$

解题步骤 11

代入 $- 2$ 替换 $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 11.1

代入 $- 2$ 替换 $C$ 。

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

解题步骤 11.2

将负号移到分数的前面。

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$

微积分学 示例

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