微积分学示例

$3 \frac{d y}{d x} = (4 x^{3} - 1) y^{4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} ((4 x^{3} - 1) y^{4})$

解题步骤 1.2

约去 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $(4 x^{3} - 1) y^{4}$ 中分解出因数 $y^{4}$ 。

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = 4 x^{3} - 1$

解题步骤 1.3

去掉多余的括号。

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = (4 x^{3} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{y^{4}}$ 和 $3$ 。

$\int \frac{3}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.3.1

通过将 $y^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.3.2

将 ${(y^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \int y^{- 4} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $y^{- 4}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ 。

$3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5

化简答案。

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解题步骤 2.2.5.1

化简。

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解题步骤 2.2.5.1.1

组合 $y^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- 3}$ 移动到分母。

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.3

化简。

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解题步骤 2.2.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 y^{3}}$ 。

$\frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.3.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.3.3.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.3.3.2.1

从 $3 y^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.2.5.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{3}, 1, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{3}$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ 中的每一项乘以 $y^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ 中的每一项乘以 $y^{3}$ 。

$- \frac{1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{y^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$ 。

$x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $x^{4} y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$y^{3} x^{4} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $- x y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + K y^{3} = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $K y^{3}$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + y^{3} K = - 1$

解题步骤 3.3.2.4

从 $y^{3} x^{4} + y^{3} (- x)$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K = - 1$

解题步骤 3.3.2.5

从 $y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K$ 中分解出因数 $y^{3}$ 。

$y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ 中的每一项除以 $x^{4} - x + K$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $x^{4} - x + K$ 。

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $x^{4} - x + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{1}{x^{4} - x + K}$

解题步骤 3.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

解题步骤 3.3.5

化简 $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $- \frac{1}{x^{4} - x + K}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

解题步骤 3.3.5.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

解题步骤 3.3.5.2

从根式下提出各项。

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

解题步骤 3.3.5.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

解题步骤 3.3.5.4

将 $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

解题步骤 3.3.5.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

解题步骤 3.3.5.6

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ 。

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}})$

解题步骤 3.3.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.5.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.7.2

对 $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.3.5.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}}$

解题步骤 3.3.5.7.5

将 ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}$ 重写为 $x^{4} - x + K$ 。

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解题步骤 3.3.5.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ 重写成 ${(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{({(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.7.5.4.1

约去公因数。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.4.2

重写表达式。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{1}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.5

化简。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{x^{4} - x + K}$

解题步骤 3.3.5.8

将 ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}}{x^{4} - x + K}$

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