微积分学示例

$\frac{d f}{d x} = 4 e^{x} + 4 x$ , $f (0) = - 10$

解题步骤 1

重写该方程。

$d f = (4 e^{x} + 4 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d f = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} + 4 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f + C_{1} = \int 4 e^{x} d x + \int 4 x d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$f + C_{1} = 4 \int e^{x} d x + \int 4 x d x$

解题步骤 2.3.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + \int 4 x d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 \int x d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$f + C_{1} = 4 (e^{x} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.2

约去公因数。

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.3

重写表达式。

$f + C_{1} = 4 e^{x} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f + C_{1} = 4 e^{x} + 2 x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

重新排序项。

$f + C_{1} = 2 x^{2} + 4 e^{x} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $- 10$ 代入 $f$ ，在 $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ 中求 $K$ 的值。

$- 10 = 2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$ 。

$2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = - 10$

解题步骤 4.2

化简 $2 \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = - 10$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 4 e^{0} + K = - 10$

解题步骤 4.2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 4 \cdot 1 + K = - 10$

解题步骤 4.2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4 + K = - 10$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4 + K = - 10$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$K = - 10 - 4$

解题步骤 4.3.2

从 $- 10$ 中减去 $4$ 。

$K = - 14$

解题步骤 5

代入 $- 14$ 替换 $f = 2 x^{2} + 4 e^{x} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 14$ 替换 $K$ 。

$f = 2 x^{2} + 4 e^{x} - 14$

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