微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (x - \sin (x)) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $π$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π^{2}$ 。

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

解题步骤 4.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

解题步骤 4.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{π^{2}}{2}$ 。

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

解题步骤 4.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

解题步骤 4.3.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

解题步骤 5

代入 $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ 替换 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

微积分学 示例

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