微积分学示例

$t^{2} \cdot \frac{d y}{d t} + y^{2} = t \cdot y$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{t}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$

解题步骤 1.1.2

将 $t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$ 中的每一项除以 $t^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$ 中的每一项都除以 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d y}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

约去 $t$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1.1

从 $t y$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1.2.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} - \frac{y^{2}}{t^{2}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{y^{2}}{t^{2}}$ 重写为 ${(\frac{y}{t})}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} - {(\frac{y}{t})}^{2}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{t}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{t}$ 。

$\frac{d y}{d t} = V - V^{2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{t}$ 。

$y = V t$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V t$ 对 $t$ 的导数。

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

解题步骤 5

代入 $t \frac{d V}{d t} + V$ 替换 $\frac{d y}{d t}$ 。

$t \frac{d V}{d t} + V = V - V^{2}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d t}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d t}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$t \frac{d V}{d t} = V - V^{2} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $V - V^{2} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$t \frac{d V}{d t} = - V^{2} + 0$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $- V^{2}$ 和 $0$ 相加。

$t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$ 中的每一项除以 $t$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$ 中的每一项都除以 $t$ 。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- V^{2}}{t}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- V^{2}}{t}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d t}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d t} = \frac{- V^{2}}{t}$

解题步骤 6.1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d V}{d t} = - \frac{V^{2}}{t}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{V^{2}}$ 。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{t})$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $V^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

将 $- \frac{1}{V^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

解题步骤 6.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

解题步骤 6.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{t}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.2.1.1

通过将 $V^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 ${(V^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2.2.2

根据幂法则， $V^{- 2}$ 对 $V$ 的积分是 $- V^{- 1}$ 。

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- V^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{V} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$V, 1, 1$

解题步骤 6.3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$V$

解题步骤 6.3.2

将 $- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$ 中的每一项乘以 $V$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$ 中的每一项乘以 $V$ 。

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{V}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = - \ln (| t |) V + C V$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

将 $- \ln (| t |) V + C V$ 中的因式重新排序。

$- 1 = - V \ln (| t |) + C V$

解题步骤 6.3.3

求解方程。

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解题步骤 6.3.3.1

将方程重写为 $- V \ln (| t |) + C V = - 1$ 。

$- V \ln (| t |) + C V = - 1$

解题步骤 6.3.3.2

从 $- V \ln (| t |) + C V$ 中分解出因数 $V$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $- V \ln (| t |)$ 中分解出因数 $V$ 。

$V (- 1 \ln (| t |)) + C V = - 1$

解题步骤 6.3.3.2.2

从 $C V$ 中分解出因数 $V$ 。

$V (- 1 \ln (| t |)) + V C = - 1$

解题步骤 6.3.3.2.3

从 $V (- 1 \ln (| t |)) + V C$ 中分解出因数 $V$ 。

$V (- 1 \ln (| t |) + C) = - 1$

解题步骤 6.3.3.3

将 $- 1 \ln (| t |)$ 重写为 $- \ln (| t |)$ 。

$V (- \ln (| t |) + C) = - 1$

解题步骤 6.3.3.4

将 $V (- \ln (| t |) + C) = - 1$ 中的每一项除以 $- \ln (| t |) + C$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.4.1

将 $V (- \ln (| t |) + C) = - 1$ 中的每一项都除以 $- \ln (| t |) + C$ 。

$\frac{V (- \ln (| t |) + C)}{- \ln (| t |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

解题步骤 6.3.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.4.2.1

约去 $- \ln (| t |) + C$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{V (- \ln (| t |) + C)}{- \ln (| t |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

解题步骤 6.3.3.4.2.1.2

用 $V$ 除以 $1$ 。

$V = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

解题步骤 6.3.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$V = - \frac{1}{- \ln (| t |) + C}$

解题步骤 6.3.3.4.3.2

从 $- \ln (| t |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |)) + C}$

解题步骤 6.3.3.4.3.3

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |)) - 1 (- C)}$

解题步骤 6.3.3.4.3.4

从 $- (\ln (| t |)) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |) - C)}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5

化简表达式。

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解题步骤 6.3.3.4.3.5.1

将 $- (\ln (| t |) - C)$ 重写为 $- 1 (\ln (| t |) - C)$ 。

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| t |) - C)}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$V = - - \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 1 \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

解题步骤 6.3.3.4.3.5.4

将 $\frac{1}{\ln (| t |) - C}$ 乘以 $1$ 。

$V = \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{t}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{t} = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{t} = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $t$ 。

$\frac{y}{t} t = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{t} t = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

组合 $\frac{1}{\ln (| t |) + C}$ 和 $t$ 。

$y = \frac{t}{\ln (| t |) + C}$

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