微积分学示例

$\frac{d u}{d r} = \frac{6 + \sqrt{r}}{6 + \sqrt{u}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $6 + \sqrt{u}$ 。

$(6 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (6 + \sqrt{u}) \frac{6 + \sqrt{r}}{6 + \sqrt{u}}$

解题步骤 1.2

约去 $6 + \sqrt{u}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(6 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (6 + \sqrt{u}) \frac{6 + \sqrt{r}}{6 + \sqrt{u}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(6 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 6 + \sqrt{r}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(6 + \sqrt{u}) d u = (6 + \sqrt{r}) d r$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 6 + \sqrt{u} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 d u + \int \sqrt{u} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.2.2

应用常数不变法则。

$6 u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.2.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 6 + \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.2.4

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 6 + \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.2.5

化简。

$6 u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 6 + \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.2.6

重新排序项。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = \int 6 + \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = \int 6 d r + \int \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

解题步骤 2.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{r}$ 重写成 $r^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $r^{\frac{1}{2}}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = 6 r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 6 r + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 6 u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + 6 r + K$

微积分学 示例

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