微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = x^{2} + 8$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = x^{2} + 8$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x^{2} + 8$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

组合 $u^{- \frac{1}{3}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

解题步骤 2.3.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.2.1

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $x^{2} + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $0$ 代入 $y$ ，在 $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ 。

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

解题步骤 4.2.3

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

解题步骤 4.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

解题步骤 4.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

解题步骤 4.2.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 4 + K = 0$

解题步骤 4.2.7

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 + K = 0$

解题步骤 4.3

从等式两边同时减去 $12$ 。

$K = - 12$

解题步骤 5

代入 $- 12$ 替换 $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- 12$ 替换 $K$ 。

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$

微积分学 示例

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