微积分学示例

$\frac{d A}{d t} = 0.05 A + 3200$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{0.05 A + 3200}$ 。

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

解题步骤 1.2

约去 $0.05 A + 3200$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{0.05 A + 3200} d A = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{0.05 A + 3200} d A = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 0.05 A + 3200$ 。然后使 $d u = 0.05 d A$ ，以便 $\frac{1}{0.05} d u = d A$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 0.05 A + 3200$ 。求 $\frac{d u}{d A}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{0.05}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $0.05$ 除以 $1$ 。

$0.05$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{20}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.2

由于 $20$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$20 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$20 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

解题步骤 2.2.4

化简。

$20 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.5

使用 $0.05 A + 3200$ 替换所有出现的 $u$ 。

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$

解题步骤 3

求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1

将 $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ 中的每一项除以 $20$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ 中的每一项都除以 $20$ 。

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\ln (| 0.05 A + 3200 |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

解题步骤 3.2

要求解 $A$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 0.05 A + 3200 |)} = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} = | 0.05 A + 3200 |$

解题步骤 3.4

求解 $A$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$ 。

$| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

解题步骤 3.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$0.05 A + 3200 = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $3200$ 。

$0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$

解题步骤 3.4.4

将 $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ 中的每一项除以 $0.05$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ 中的每一项都除以 $0.05$ 。

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $0.05$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.1.1

在公分母上合并分子。

$A = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.3.1.2

乘以 $1$ 。

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.3.1.3

从 $0.05$ 中分解出因数 $0.05$ 。

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05 (1)} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.3.1.4

分离分数。

$A = \frac{1}{0.05} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.3.1.5

用 $1$ 除以 $0.05$ 。

$A = 20 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.3.1.6

用 $\pm e^{\frac{t + C}{20}}$ 除以 $1$ 。

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) + \frac{- 3200}{0.05}$

解题步骤 3.4.4.3.1.7

用 $- 3200$ 除以 $0.05$ 。

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) - 64000$

微积分学 示例

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