微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y \tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} = - y \tan (x)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y \tan (x))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y \tan (x))$

解题步骤 1.3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- \frac{1}{y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

解题步骤 1.3.2.2

从 $y \tan (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (\tan (x)))$

解题步骤 1.3.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

解题步骤 1.3.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \tan (x)$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = - \tan (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \tan (x) d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \tan (x) d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \tan (x) d x$

解题步骤 2.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (x) |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y |) + \ln (| \sec (x) |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y | | \sec (x) |) = C$

解题步骤 3.3

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| y \sec (x) |) = C$

解题步骤 3.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y \sec (x) |)} = e^{C}$

解题步骤 3.5

使用对数的定义将 $\ln (| y \sec (x) |) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = | y \sec (x) |$

解题步骤 3.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $| y \sec (x) | = e^{C}$ 。

$| y \sec (x) | = e^{C}$

解题步骤 3.6.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y \sec (x) = \pm e^{C}$

解题步骤 3.6.3

将 $y \sec (x) = \pm e^{C}$ 中的每一项除以 $\sec (x)$ 并化简。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $y \sec (x) = \pm e^{C}$ 中的每一项都除以 $\sec (x)$ 。

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

解题步骤 3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.3.2.1

约去 $\sec (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

解题步骤 3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.3.1

分离分数。

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

解题步骤 3.6.3.3.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

解题步骤 3.6.3.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (x))$

解题步骤 3.6.3.3.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (x)$

解题步骤 3.6.3.3.5

用 $\pm e^{C}$ 除以 $1$ 。

$y = (\pm e^{C}) \cos (x)$

解题步骤 3.6.3.3.6

将 $(\pm e^{C}) \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$y = \cos (x) (\pm e^{C})$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \cos (x) C$

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