微积分学示例

$x (y d) y - (x + 1) d x = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $(x + 1) d x$ 。

$x y d y = (x + 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$y d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $x + 1$ 。

$y d y = \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 4.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

将分数分解成多个分数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

解题步骤 4.3.6

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 5.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 5.5

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

微积分学 示例

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